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Capitolo 3 - Togliere e tagliare a pezzi

Addizione e moltiplicazione sono operazioni che si comportano bene. Entrambe danno risultati dello stesso tipo di numeri che ci hai messo dentro. Non gli stessi numeri ma numeri dello stesso tipo.
Fin qua abbiamo lavorato con i numeri interi, da zero in su (cioe' i numeri positivi). L'addizione funziona cosi': se hai 10 monete, aggiungi 2 altre monete e ottieni... 12 monete. E tutti i numeri in questo conto sono numeri interi. La moltiplicazione funziona allo stesso modo: se metti 10 patate nel terreno e ogni patata cresce fino a diventare 5 nuove patate, avrai 50 patate entro la fine della stagione. Bene. Partiamo da due numeri interi, ed otteniamo un nuovo numero, sempre intero. Che simpatiche operazioni!

Sottrazione e divisione non sono cose' amichevoli. Sono piu' strane. Quando provo a sottrarre un numero grande da uno piccolo posso finire nei guai perche' il risultato potrebbe non essere un numero positivo. Per essere il piu' concreto possibile: non posso darti 10 pecore, se ne ho solo 4, giusto? Oppure si? Potrei, ma allora avrei un debito di 6 pecore... I debiti sono numeri negativi. Estendere i nostri numeri in modo da includere anche i numeri negativi ci crea pero' vari problemi, tipo: come funzionerebbe l'addizione (e la moltiplicazione) con un misto di numeri positivi e negativi?
Per ricapitolare: a volte quando sottraggo un numero intero positivo da un altro numero intero positivo, posso ottenere qualcos'altro come risultato, cioe' un numero intero negativo. OK. Diciamo che possiamo convivere con questa situazione e che riusciamo persino ad aggiustare addizioni e moltiplicazioni in modo che funzionino con questa famiglia di numeri piu' ampia. Dobbiamo ancora fare i conti con un altro tipo di stranezza, quello della divisione. La divisione e' ancora piu' strana della sottrazione: parti con due numeri interi (per ora, limitiamoci a numeri interi positivi), e ottieni a volte uno, a volte due risultati. Supponiamo che hai 6 caramelle e le vuoi dividere 2 amici, chiaramente ognuno riceve 3 caramelle, facile. Ma se parti da 7 caramelle, cosa viene? Anche in questo caso ogni amico riceve 3 caramelle, ma a te ne rimane 1. Quindi il risultato di 7 diviso per 2 e' in realta' due cose: 3 E POI 1 che e' avanzato. Questa e' sicuramente l'operazione piu' stramba che abbiamo incontrato finora.
E va bene. Possiamo provare a rendere le cose piu' uniformi e dire che una divisione restituisce SEMPRE due risultati: il risultato effettivo della divisione e un avanzo (in matematica si chiamano quoziente e resto ). Facendo cosi' abbiamo un'operazione che prende due numeri interi positivi e restituisce altri due numeri interi.
Pero' potremmo anche prendere un'altra direzione e insistere che la divisione restituisca un singolo numero come risultato. Se facciamo cosi', quale numero sarebbe il risultato di 7 diviso per 2? Non puo' essere un numero intero, perche' 3 e' troppo piccolo e 4 e' troppo grande per essere il risultato. Dobbiamo quindi inventarci un'altra famiglia di numeri, i numeri con la virgola, che esistono tra i comuni numeri interi. (spoiler! il risultato della nostra divisione e' 3.5, ma a questo punto del libro non sappiamo ancora cosa significhi 3.5...)
I numeri con la virgola sono strani in un modo tutto loro, e dovremo trovare un modo per metterli su un abaco, per dare un senso a cosa SONO. E tra l'altro dobbiamo ridefinire tutte le nostre operazioni, in modo che funzionino sia con numeri interi (positivi e negativi) che con i numeri con la virgola. In matematica le famiglie di numeri hanno nomi storici piuttosto stravaganti: i numeri naturali, cioe' lo zero e i numeri positivi, i numeri senza virgola, gli interi (che sarebbero i numeri naturali assieme ai numeri negativi) e i numeri reali(*) (numeri interi assieme ai numeri con la virgola) .

Per non perderci e lavoare con queste due nuove, strane operazioni, cioe' la sottrazione e la divisione, useremo l'idea di scriver la stessa cosa in piu' modi e quando possibile faremo leva sulla forma normale e delle trasformazioni (come abbiamo fatto nel capitolo 1). Nel processo inventeremo anche modi per visualizzare, rappresentare e ragionare sui numeri interi, i numeri negativi e pure quelli con la virgola.

(*) Nota: questa e' una semplificazione. I numeri interi e quelli con la virgola corrispondono in effetti ai numeri razionali in matematica. Invece i numeri reali sono una famiglia piu' grande che contiene anche tutti i razionali, e visto che i reali sono piu' FAMOSI, in questo libro parlero' dei numeri con la virgola come se fossero i numeri reali, che e' corretto ma esattamente tutta la storia.

La sottrazione e i numeri negativi

La sottrazione e' piu' o meno l'opposto dell'addizione. Quando pensiamo ai numeri in unario, la sottrazione e' piuttosto semplice: basta rimuovere dal numero tante tacche I quanto serve. Ad esempio: IIIIII - II = IIIII = III, che vuol dire che sottraendo due da cinque mi rimane tre. Dal punto di vista delle nostre pecore, viene:

-
=
Una cosa interessante da notare e' che la sottrazione non e' commutativa, cioe' l'ordine conta! E visto che stiamo sempre ancora lavorando con numeri interi positivi o zero (i cosiddetti numeri naturali), non sappiamo ancora cosa fare con: II - IIIIII.
Dalla matematica che hai fatto a scuola ti ricordi di sicuro che una sottrazione in cui un numero piccolo viene sottratto da uno grande da' come risultato un numero negativo: quindi ci tocca discutere dei numeri negativi per poter definire correttamente la sottrazione. (In matematica i numeri interi positivi e quelli negativi sono chiamati collettivamente numeri interi)
Il modo piu' semplice per introdurre numeri negativi potrebbe essere aggiungere un segno a un numero ed estendere le regole per l'addizione e la moltiplicazione in modo che funzionino per i numeri con un segno. Il segno potrebbe essere + per i numeri che abbiamo usato finora (alias i naturali) e - per i nuovi numeri, quelli negativi; zero invece rimane lo stesso.

Storicamente pero' i numeri negativi sono stati inventati per il commercio. Quindi lasciami considerare uno scenario con dei baratti: devo ricordarmi se tu mi devi delle pecore! E magain io ti dovro' delle pecore in un altro momento, in futuro. Per gestire questo scenario posso tenere 2 scatole di gettoni: una per le pecore che ho e una per quelle che devo a qualcun altro. Al giorno d'oggi nel commercio la scatola con le pecore dovute (cioe' i debiti) e' solitamente associata al colore rosso, per quello si dice "il mio saldo e' in rosso".
Con la nostra notazione a scatole, posso scrivere un numero intero positivo cosi': n0 dove n e' un numero positivo, oppure zero. Quindi le frasi "ho 1 pecora", "ho due 2 pecore", e "ho 1972 pecore" si possono scrivere cosi' 10, 20, 19720, perche' questi numeri sono tutti interi e positivi. Una frase come "ti devo 3 pecore" si potrebbe scrivere cosi': 03, e vuole anche dire che devo avere 3 pecore in piu', prima che io e te ci possiamo considerare pari. Ma allora se ho tre pecore e le aggiungo a 03, dovrei restare con zero pecore giusto?! E questo vorrebbe dire che: 30 + 03 → 00 cioe' sembra che sommare un numero rosso (o negativo) ad uno positivo sia la stessa cosa che fare una sottrazione. E infatti abbiamo scritto grossomodo che 3 + (-3) = 0, che poi e' come dire che 3 - 3 = 0.
OK, quindi quando faccio una somma di numeri positivi e negativi, sto facendo in realta' una sottrazione... e' questo non suona poi' cosi' strano. Dopotutto nella metafora del commercio quello che sto facendo e' bilanciare i conti. Allora qui la rivelazione e' che: una sottrazione e' in realta' un'addizione in cui il secondo numero e' stato trasformato in un numero negativo.
Fico, ma volevo la mia idea era di usare l'unario per lavorare con la sottrazione. Quindi vediamo come e' fatta la stessa sottrazione 3-3 se la scrivo con i numeri unari, nelle due scatole: III  - III  E ricordiamoci che non c'e' veramente un modo di scriver "zero" in unario, quindi ho semplicemente lasciato vuote le scatole che avevano zero dentro. Adesso possiamo usare il fatto che una sottrazine e' un'addizione con il secondo numero trasformato in negativo: III  - III  → III  +  III E visto che la somma in unario e' "mettere tutto assieme", il risultato deve per forza fare: IIIIII Un bel risultato bilanciato... solo che volevo che facesse zero (perche' in effeti LO SO che 3-3 e' zero). Ma... aspetta un secondo! Questo numero in unario, scritto nelle due scatole, e' DI FATTO proprio zero. O meglio: questo risultato e' un numero che non e' in forma normale, e quando lo correggo e lo metto in una forma normale decente, diventa per forza zero.
Allora facciamo che definire la forma normale per questi numeri in due scatole: chiaramente un numero non dovrebbe avere I in entrambe le scatole. Se ne ha, allora lo posso trasformare, semplificare se preferisci, in modo che abbia I solo in una scatola, quella nera or quella rossa.
Armato di questa intuizione posso provare a formulare una regola per AGGIUSTARE un numero che non e' in forma normale:
se si puo', togli una tacca I da entrambe le scatole,
fino a quando non rimane nessuna I in una delle due scatole"
e a quel punto il numero sara' in forma normale.
Fantastico, proviamo subito questa procedura con il nostro aspirante zero: IIIIII →
IIII →
II →
   e visto che non posso continuare il processo, mi fermo. Il risultato era veramente zero.
E visto che ci siamo, per essere sicuro che questo approccio abbia senso, fammi provare a calcolare la sottrazione II-IIIII. Prima cambio l'operazione da una sottrazione ad una addizione (basta cambiare il secondo numero in un numero negativo) e poi calcolo l'addizione scatola-per-scatola (cioe' sommo i due numeri neri assieme, e separatamente quelli rossi), e alla fine aggiusto il risultato in modo che sia in forma normale. Proviamo: II  - IIIII  →
II  +  IIIII →
IIIIIII →
IIIIIII →  III
E vai! Il risultato e' -3 (perche' dopo tutto stavamo calcolando 2-5).

Nota: avremmo potuto usare anche i numeri di Peano qui (vedi capitolo 2). Pero' di solito i numeri di Peano non vengono utilizzati per lavorare con i numeri negativi, ma e' possibile inventare un'estensione della notazione di Peano in modo da avere numeri di Peano sia positivi e che negativi. Numeri di Peano, positivi e negativi

Morale della storia fin qua: per definire come funziona la sottrazione abbiamo dovuto inventare numeri negativi, estendendo un singolo numero ad una coppia di numeri, uno nero e uno rosso. Dato che i numeri positivi e negativi si annullano a vicenda, abbiamo realizzato che sommare un numero positivo e uno negativo e' lo stesso che sottrarre il secondo numero dal primo. Tenendo conto di questo, abbiamo ridefinito l'addizione e come bonus abbiamo ottenuto una definizione della sottrazione che funziona con qualsiasi combinazione di numeri positivi e negativi.
E per concludere possiamo notare che ogni numero positivo ha una controparte negativa, chiamata "opposto" in matematica, e che sommando due numeri opposti si ottiene zero; zero non ha un opposto.

Dalla sottrazione alla divisione

Un modo di pensare alla divisione e' di vederla come molte sottrazioni ripetute. Prendiamo ad esempio: 8:2, che si puo' leggere come "otto diviso due", oppure "ci sono otto pecore, e le voglio dare a due amici, in modo che ogni amico ne abbia lo stesso numero". Per calcolare il risultato posso fare cosi': parto con le tue pecore e provo a darne una ad ogni amico; e poi ripeto il processo fino a che non ho zero pecore, oppure finche' non ci sono meno pecore che amici, e in quel caso avro' delle pecore di avanzo. Nel caso di 8:2 inizierei con: mie pecore = 8   e   pecore amico1 = 0   e   pecore amico2 = 0 Do una percora ad ogni amico e ottengo: mie pecore = 6   e   pecore amico1 = 1   e   pecore amico2 = 1
mie pecore = 4   e   pecore amico1 = 2   e   pecore amico2 = 2
mie pecore = 2   e   pecore amico1 = 3   e   pecore amico2 = 3
mie pecore = 0   e   pecore amico1 = 4   e   pecore amico2 = 4 e devo smettere, perche' non posso piu' "dare una pecora ad ogni amico". Il risultato e' che i miei amici hanno ricevuto 4 pecore ciascuno e non sono rimaste pecore: quindi 8:2 = 4 e nessun resto (che e' il nome matematico delle percore che mi sono avanzate).
Questa procedura per calcolare le divisioni via sottrazioni ripetute e' stata presentata per la prima volta da Euclide un matematico dell'antica Grecia, nel suo testo matematico Elementi.

Nell'area gioco qua sotto prova queste divisioni: 8:2 e 22:7.
Poi dai un'occhiata al resto di queste divisioni: 1:3, 2:3, 3:3, 4:3, 5:3, 6:3 e 7:3. Cosa succede in questi casi?
E che ne pensi di 0:3? e 3:0?

Mi pare che questo metodo per dividere sia chiaro, ma ovviamente e' troppo lungo (o troppo lento) quindi come capita spesso con la matematica, dobbiamo sacrificare la chiarezza per la facilita' d'uso (o piuttosto per la velocita' di calcolo).
Ma come possiamo fare? La sottrazione ripetuta e' quello che e'... come facciamo ad esprimerla in un altro modo?
Be' potremmo provare a vedere se c'e' un modo per collegare la divisione a qualche altra operazione, magari una che conosciamo gia'. Dopo che tutta sappiamo che la sottrazione e' l'opposto dell'addizione, che la moltiplicazione e' addizione ripetuta, e che la divisione e' sottrazione ripetuta. Ha senso pensare che la divisione possa essere l'opposto della moltiplicazione. (spoiler! viene fuori che e' pure vero)

addizione - ripetizione  → moltiplicazione
↕ opposto  opposto? ⇣
sottrazione - ripetizione  → divisione

Per esempio possiamo considerare che 6*4 = 24, che 24:6 = 4 e anche che 24:4 = 6, e allora quest'idea che la moltiplicazione e la divisione sono in qualche modo una l'opposto dell'altra sembra avere senso. (volendo essere precisi, in matematica si dice che un'operazione e' l'inversa di un'altra).

La divisione si puo' anche vedere come un modo per riscrivere un numero, in modo che sia DIPENDENTE da un altro; cioe' la divisione e' vista come una trasformazione che preserva il significato di un numero, ma lo riscrive per assomigliare a un altro. Ad esempio nell'area giochi sopra abbiao visto che il numero 13 e' anche 3 * 4 + 1, cioe' 13 riscritto come numero multiplo di 4 e' 3, con un resto di 1. E questo significa che "tredici e' lo stesso che tre volte quattro, e poi devi aggiungere uno". 
                             IIII
        IIIII IIIII III  →   IIII
                             IIII   I

Interessante... e' come se stessimo cercando di riarrangiare il numero 13, per farlo ADATTARE ad un certo modello: vogliamo riscrivere n come q * m + r, dove tutti i numeri sono interi e conosciamo solo n e m; e vogliamo anche che r sia piu' piccolo di m.

Perche'? Perche' posso essere sicuro che r sara' sempre piu' piccolo di m? Cosa accadrebbe alla mia divisione se r fosse uguale o piu' grande di m?
Prova a trovare degli esempi e vedere cosa succede nei vari casi...

Questa idea di "adattarsi ad un modello" suggerisce che stiamo cercando di trovare una combinazione lineare, ma ALL'INDIETRO! Come quando ho un numero in base 10 e cerco di trovare le sue cifre in base 2 (come abbiamo fatto nel capitolo 2). E infatti n = q * m + r mi dice che voglio riscrivere il mio numero n come combinazione lineare di altri due numeri, q e r, dove il numero m serve da peso.
Una domanda che continuiamo a farci in questo libro e': ci sono modi alternativi per scrivere la stessa cosa? (oppure: forme diverse ma stesso significato?) Qui voglio vedere se ci sono modi alternativi di scrivere il mio numero n, come combinazione lineare, rispetto al numero m.
Beh, sicuramente ci sono molti modi di scrivere 13 nella forma q * 4 + r, vediamoli: 13 = 0 * 4 + 13
13 = 1 * 4 + 9
13 = 2 * 4 + 5
13 = 3 * 4 + 1
13 = 4 * 4 + (-3)
...
13 = (-1) * 4 + 17
... e ognuno di questi modi di scrivere 13 come multiplo di 4 e' corretto (e ce ne sono potenzialmente infiniti), e rappresenta un modo per adattare 13 al modello. Ad esempio 13 = 2 * 4 + 5 e': 
                             IIII
        IIIII IIIII III  →   IIII
                                     IIIII

Quindi la divisione e' un modo per riscrivere un numero e adattarlo ad un modello definito da un altro numero.
Ma se vedo la divisione come una forma di riscrittura, posso chiedermi: qual e' la forma normale per la divisione? Cioe': qual e' il modo corretto di scrivere un numero in questa notazione?
Nel nostro esempio sarebbe come chiedersi: quale modo di riscrivere 13 e' il migliore, il piu' chiaro e piu' semplice? Possiamo magari partire dal modo piu' OVVIO per scrivere 13 come multiplo di 4: 13 = 0 * 4 + 13 OK, questo e' MOLTO ovvio e funziona per qualsiasi numero n, perche' l'espressione n = 0 * m + n e' sempre vera.
Ma possiamo per caso trasformare q e r mantenendo vera l'espressione? Be'... possiamo togliere 4 dal nostro numero 13, e aggiungere 1 a q: 13 = 0 * 4 + 13 →
(0+1) * 4 + (13-4)   →   1 * 4 + 9 e viene 13 = 1 * 4 + 9 che e' ancora vero: bene. E la buona notizia e' che possiamo continuare a fare cosi': 13 = 1 * 4 + 9 →
(1+1) * 4 + (9-4)   →   13 = 2 * 4 + 5
(2+1) * 4 + (5-4)   →   13 = 3 * 4 + 1
(3+1) * 4 + (1-4)   →   13 = 4 * 4 + (-3)
Cavolo! L'ultimo passo era troppo. Penso che ci dovremmo fermare a 13 = 3 * 4 + 1. Questo processo assomiglia MOLTO alla procedura per la divisione: prendi un numero (qui 13) e rimuovi il divisore (qui 4) tutte le volte che puoi. Fermati quando il resto diventa meno del divisore, altrimenti ti viene un resto negativo.
Abbiamo cosi' riscoperto lo stesso procedimento della divisione, ma partendo da un punto di vista completamente diverso. Fico.
E la forma normale qui diventa che quando scrivo n = q * m + r, q deve essere il numero piu' GRANDE possibile, mentre r il piu' PICCOLO possible, ma non un numero negativo. Inoltre vale la regola che posso sempre trasformare la mia combinazione lineare in questo modo: n = q * m + r →
n = (q+1) * m + (r-m) e se la prima combinazione lineare di q, r e m e' uguale a n, allora lo sara' per forza anche la seconda.

Quindi in pratica abbiamo due modi di vedere la divisione: come l'opposto della moltiplicazione, e come una tecnica per riscrivere un numero come dipendente da un altro. Mettere assieme queste due idee suggerisce un modo alternativo e piu' veloce per calcolare le divisioni:
per calcolare (n:m) posso provare ad avvicinarmi il piu' possibile a n
moltiplicando m per numeri sempre piu' grandi,
e fermarmi prima di superare n.
Nel nostro esempio 13:4, potrei chiedermi "qual e' il numero piu' grande che posso moltiplicare per quattro per ottenere 13 o un numero appena piu' piccolo?".
Questo numero sarebbe la mia stima di q. Qui potrei provare con 1*4, 2*4 = 8, 3*4 = 12 e 4*4 = 16 . Ma 16 e' gia' troppo, e quindi scegliero' 12 che mi da' q = 3. E adesso che so che valore dare a q posso facilmete trovare r, perche' r = 13 - 3*4 = 1, e nel caso generale:

r = n - 3*m

Questo spiega perche' ci insegnano le tabelline a scuola: e' perche' ne abbiamo bisogno non solo per moltiplicare ma anche per eseguire velocemente divisioni tra numeri interi (cercando di trovare il numero giusto per q e poi ricavando r).

Vedere la divisione

When you divide two numbers written in unary (tally notation, see chapter 1) the results have a surprising aesthetic quality.
Take a number e divide it by all numbers smaller than itself. For example: take 6, e divide it by all numbers smaller than 6:

6:1 = 6, 6:2 = 3, 6:3 = 2,
6:4 = 1 with a reminder of 2,
6:5 = 1 with a reminder of 1

OK, so sometimes we have leftovers e sometimes a good, crisp division. However, there are some numbers that have some leftover when you divide them for EVERY number before them: these numbers ARE NOT divisible by any number smaller than themselves. You might remember them from school math: they are called prime numbers. Prime e composite numbers

In the playground above, try one prime number, e then with the number before e after, for example: 7, 6 e 8. Or: 11, 10, e 12.
Can you see what is going on with the prime? Look at all the numbers smaller than your prime...
A prime number is defined as a natural number that cannot be formed by multiplying two smaller natural numbers (source wikipedia). Did you notice anything when looking at prime numbers in unary, e how they behave when divided by other numbers?
Hint: look at the reminder of the divisions... e how many times do you get a zero...

For a purely aesthetic pleasure, try to start from 1 e go up one step at the time... Look at how the patterns of dots arrange themselves.
Every time a pattern of dots has a shorter line of dots at its base, that number does not divide your current input number.
Try also with 12: a very DIVISIBLE number. It can be divided by 2,3,4,6, e 12.

Numbers with decimals

Divisions are boring e more difficult than, say, multiplications. Also have seen that not all divisions give just a one-number answer: sometimes you get a result e then some leftover (AKA a quotient e a reminder). For example 22:7 (which is sometimes used as an approximation of π), results in 3 e then 1 leftover, because: 22 = 3*7+1.
But... we know another way to write 22:7 e it involves using DECIMALS; 22:7 should actually be 3.142857 142857 ... etc, forever. The problem is that so far we have not defined these kinds of numbers with decimals. We don't even have a name for them, but if the other numbers are called whole, these could be called broken numbers.
Let's try to see what it means for a number to be broken, before we start thinking of ways to write it down properly (let's look at the semantics before we look at the syntax). A broken number can be in between two whole numbers: for example, if the result of 5:2 was a single number (instead of a quotient e a reminder), it would be a number that is larger than two e smaller than three at the same time.
Unary or Peano numbers will not cut it here... There is no way I can use one of those to represent whatever number 5:2 is. But I could go back to the abacus (that we used it in chapter 1); however, also the abacus can only represent whole numbers, e if we add the idea of a sign, we could perhaps express natural numbers on an abacus... but broken numbers?
I can start by considering numbers that are between zero e one, for example 1:2 or 1:3. At this point I cannot really write them as numbers, but I could try to rephrase the question "what is one divide by two?" into something more understandable. A trick that springs to mind is to make the question more general, think larger, since the problem seems to be that 1 is too small for this division. So I could ask instead "what is ... divided by two?":

and that means that: Why is the last one so interesting? Because dividing e multiplying by ten (or powers of ten) is very simple on an abacus (since the abacus works with base 10). Multiplying by ten means that the number on the abacus shifts to the left of one spike: all beads on all spikes move to the next spike to the left. This operation can be called a left-shift, e it corresponds to 10-times the original number.
Following this idea, a right-shift of one spike corresponds to dividing by ten. I could try with my result from before, 5, that was ten time too large. I could place five beads on the right-most spike of the abacus, e then perform a right-shift. That would mean divide 5 by ten on my abacus. The problem is that I would get zero... because I will run out of spikes on the right. Which makes sense, since the abacus only works with whole numbers.

In the abacus below, look at these numbers: 23, 230, 2300, e 2.
Then write 5 on the abacus e multiply it by ten, e then by ten again: which means write 50 e then 500 e see how they look.

When I right-shift too much, the least-significant digits of my numbers (AKA the beads to the far right) are lost by the abacus... so how can we fix this? We can EXPAND the abacus, add more spikes to the right. But wait a second: how can an abacus with more spikes be the solution here? It will just be able to represent LARGER WHOLE NUMBERS, not broken numbers. Well, what about remembering where the unit spike is BEFORE I expand the abacus?!
Wait... what? Let me explain in another way: my abacus is not enough, so I can add a second abacus to the RIGHT of my usual abacus. e I connect them by deciding on a rule that says: "when a number is right-shifted too much in the first abacus (the left one), move the beads that would have fallen off the abacus on the left-most spike of the second abacus". That should do it. If I paint a decimal point (or comma if you prefer) in between the two abaci, I have a NEW way to write numbers, that can represent whole e broken numbers!

In the expanded abacus below, try to divide 23 by ten e by one hundred. Use the radio buttons to control how much you want to divide.
Then write 5 on the abacus e DIVIDE it by ten, e then by ten again.

That was cool. We have effectively expanded the notation base 10 to include also broken numbers. So now I know what 5 divided 10 looks like: it is 5.0 right-shifted of one spike, which gives me: 0.5, or 0.5.
Great. Then I can finally write that 1:2 is 0.5!

In chapter 2 we established that a number in based 10, that looks like abcd really means (as a value of) a specific number n, that we can calculate with a weighted sum of powers of ten: a * 103 + b * 102 + c * 101 + d * 100 = n
Now, playing a bit with the properties of the power operation I can convince myself that 1:10 is really the same as 10-1, e 1:100 is 10-2.

The power operation can also work with negative numbers, for example 2-3 is just 1:23. Go back to chapter 2 e see if you can verify that it must be so.

Anyway, the interesting thing here is that if I can write negative powers of ten, then I can redefine base 10 in very ELEGANT way. A number with digits like this abc.de will represent the broken number: a * 102 + b * 101 + c * 100   +   d * 10-1 + e * 10-2 so that d represents how many TENTHS of 1 there are in my number, e e represents how many HUNDREDTHS there are in my number.

All this is fine, but we have forgotten about 1:3. What broken number is that?
I can try with some approximations: 1:3 = 0 e a reminder of 1
10:3 = 3 e a reminder of 1
100:3 = 33 e a reminder of 1
... Differently from 1:2 that eventually gives 0.5, this one seems to go on for ever with the same reminder for every attempt I make with ten times larger numbers. It seems that this number, the result of 1:3, looks something like: 0.333 ... e more threes FOREVER.
Which is OK if I accept that I might have to use a very very large abacus to represent this number.

Long division

Using my newly defined expanded abacus I can now ask this question: how can I continue a division between two whole numbers, e get a number with decimals (AKA broken number)?
The prolem is that so far the division procedure that we have is still the one from Euclid e that gives a quotient e a reminder, both whole numbers...
To define a new, longer style of division I can go back to the (surprisingly powerful) idea of spike swapping on an abacus. So far we know that:

OK, e I want to use these two facts in my division, e hopefully CONTINUE my division beyond whole numbers, e extend it to give me results that are broken numbers, when needed.
For this let's look at 10:4. The best I can do with whole numbers is 2 with a leftover of 2, because ten rewritten as a multiple of four gives 10 = 2 * 4 + 2. However, I could shift my number on the abacus, e ask instead: "what is 100:4" ? If that was not enough, I can keep shifting left (AKA multiply more times by ten) my original number 10, until I can see how to divide it by 4. Shifting to the left on the abacus gives me more space to calculate whole number division, e when I find an whole number result I can then shift it back (to the right) on my EXPANDED abacus, e read the broken number result!
Using the box notation for the expanded abacus, this idea looks like this:
010.00:4 -shiftLeft→
100.00:4 = 025.00 -shiftRight→
002.50
Surely the solution to 100:4 IS NOT the same as the solution to 10:4, but the two solutions are RELATED! In fact the solution to 100:4 has to be ten time larger than that to 10:4. So: 100:4 = (10:4) * 10, but 100:4 has a whole number solution, it is 25. e this means that: 10:4 = 25:10, which means "the result of 10:4 is ten times smaller than 25".

Interesting: again we find that in math we need to use multiple ways to write the same thing, to help us find a solution. Here we are using the fact that some multiplications e divisions are just a left or right shift on the abacus (those where you multiply or divide by ten), so we don't really have to do any calculations... just move the decimal point left or right.
And by the way, we are using the idea of changing syntax but not semantics also with the number being divided: in fact, any number n is also (n*10):10 e (n*100):100, ect.

Back to our example. We were at 10:4 → (100:4):10 = (25):10. And to find the number that is the result of 25:10, I can just write 25 on my abacus, then right-shift of one spike: 025.00 → 002.50 or "two dot five" on my abacus with decimals.
So finally: 10:4 = 2.5, done!

Go back to the expanded abacus above, e confirm that 25:10 is in fact 2.5.
Then using the same idea, find our what 3:4 looks like as a broken number.
HINT: think of thirty, instead of three, divided by four; or even three-hundred if needed.

The long division that school math taught us is a manual, step-by-step way to calculate divisions using similar ideas. Interestingly, different countries teach the long division in different ways.

Moral of the story so far: subtraction is the opposite of addition, e we can define negative numbers (extending unary numbers), so that a subtraction become a variation of an addition. Then we realize that if multiplication is a repetition of addition, then we can look at division as a repetition of subtraction. e division turns out to be the opposite of multiplication.
But as in the case of subtraction, also division forces us to extend our number system: what happens when a division does not have a crisp result, but instead we are left with a reminder? e also what is the number that corresponds to divisions like 1:2?
We kind of assumed so far that every operation would give a single result, but division seems different. To make things right we find a way to represent more than whole numbers on an abacus: we invent broken numbers. So we can write 1:2 = 0.5, where 0.5 is a number that we can visualize on a special abacus (an expanded abacus) that has a dot to separate the whole part of a number from its decimals, the broken part.
The trick to be able to calculate divisions like 1:2 is again rewriting numbers in multiple ways, or in this specific case place numbers on our expanded abacus e use the properties of spike shifting.

All together now

Finally, we have not really discussed what happens when numbers can be positive e negative, as well as whole or broken. Instead of thinking about all the possible combinations of these features, in math usually the idea is to look at the most general case e use that one to redefine all others.
In our case that means that I can simply consider the most complex case, e find a way to represent e work with that one. So let me look at have a negative, broken number, like -12.3. Since it is negative, I should use the black e red boxes: 012.3 Fine, but we don't know yet how to put a broken number in the red box. So I could use the idea of the expanded abacus, for each box! 0012.30 OK, that looks good... complicated perhaps, but good. But.. wait a second! What about the black box? Surely that should also be a broken number, in the general case. So: 000.00012.30 Wow. So that is one way to write down -12.3, using the black e red boxes e expanded abacus. Addition e subtraction can be then defined on this notation, like we did in the beginning of this chapter: just do additions with the usual rules, in the black e red box separately, eventually fixing the abacus notation so it is still in its own normal form. And to subtract just use this equivalence a-b = a+(-b).
Multiplication e division are a bit more difficult to redefine for these number notation, but it is doable... Multiply e divide with broken numbers
Finally, also whole numbers can be written in that notation, because every whole number is also a broken number, with zero in its decimal part! For example 5 becomes: 005.00000.00 So we could in fact clean up this notation a bit, e decide that when some boxes are zero, they can avoid writing them (remember that in math we want to have EFFICIENT ways to write e work with numbers)... So 5 e -12.3 could be written like: 50
012.3 ... nicer e more compact too.

Puzzles

(1) Positive e negative numbers.

Convert all numbers in the following expressions in unary notation, the calculate the results of the expression, still using only unary numbers. Only at the end, convert results from unary to ordinary, base 10 number.
To write unary numbers use the black e red boxes notation, where -3 looks like 03.

(2) Fitting the template.

Calculate the following whole number divisions, by rewrite the dividend as a multiple of the divisor. Try working step-by-step starting from n = 0 * m + n.

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